数学上的函数：

设A和B是两个非空集合，存在某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合b中都存在唯一的一个元素b与之对应。这个对应关系就是函数
划重点：

• 对应关系：指某种数学运算
• 唯一性：同一个元素a，函数值是唯一的

程序上的函数：

一个代码片段，将输入的数据通过计算转成输出的数据。函数同样可以表示成y=f(x)，x表示输入数据，也就是状态，y表示函数的输出结果。所有x组成的集合叫状态空间。类比于数学上的函数，函数应当有以下特点：
唯一性：同一个状态x，函数值是唯一的
这就要求我们尽可能将函数设计成跟环境无关的，只跟状态相关。

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int c = 10;
int f(int x) {
    return x +c;
}

这个是环境相关代码，变量c随时可以被改变，实际上，这个函数应该改成

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int f(int x, int c) {
    return x + c;
}

这个函数写法跟环境无关。但是，在实际代码实现中，有时候为了实现起来方便，或者函数输出后续复杂度的问题，会将输出写在参数列表中

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void f(int x, Output output) {
    output.print(x + 1);
}

这种写法需要仔细分析是否是一个环境无关的函数。

• 状态：x
• 函数值：x + 1
• 输出：output.print(x + 1)

函数值是环境无关的，就看输出是否output.print是否环境无关
（先前有人写了个记忆化搜索，写得很混乱，没有分析好函数的状态和状态值，在记忆化搜索中少写了一个状态，导致函数值不是唯一）
数据计算领域中，提倡函数式编程，这是因为函数式编程的思想，将函数设计成跟环境无关，这种函数天然支持并行计算，不会出现环境不同，而导致的计算结果不同。